Александр Попов (athunder) wrote,
Александр Попов
athunder

Загадочное число 142857

Загадочное число 142857




Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби \frac{1}{7} в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.


Циклическое число

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142857.

  • 1 × 142857 = 142857
  • 2 × 142857 = 285714
  • 3 × 142857 = 428571
  • 4 × 142857 = 571428
  • 5 × 142857 = 714285
  • 6 × 142857 = 857142
  • 7 × 142857 = 999999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно \frac{1}{7}, \frac{2}{7} и т. д.)


Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142857 или 999999:

  • 8 × 142857 = 11428560000 (после прибавления первой цифры к последней получается 142857)
  • 42 × 142857 = 59999940000 (после прибавления первой цифры к последней получается 999999)
  • 142857 × 142857 = 20408122449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122449 + 20408 — получается 142857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142857, либо к 999999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на \frac{5}{10} или на \frac{2}{10} соответственно) также можно получить сдвигом:

  • 142857 / 2 = 71428.5
  • 142857 / 5 = 28571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

  • 857^2 = 734449\,
  • 142^2 = 20164\,
  • 734449 - 20164 = 714285\,

Как период обыкновенной дроби

Число 142857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби \frac{1}{7}. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

  • 1/7 = 0.14285714285714285714…
  • 2/7 = 0.28571428571428571428
  • 3/7 = 0.42857142857142857142
  • 4/7 = 0.57142857142857142857
  • 5/7 = 0.71428571428571428571…
  • 6/7 = 0.85714285714285714285

Другие операции

Если число 142857 возвести в квадрат, то получится 20408122449. Если получившееся число разбить на две части 20408 и 122449 и сложить их, то получится исходное число 142857.

Если число 142857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.

Другие свойства

142857 является также Числом харшад (натуральное число, делящееся нацело на сумму своих цифр и Числом Капрекара.

(via)




Смотрите также: Золотое сечение и загадочное число Ф
 


Tags: занимательная математика, математика
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo athunder may 26, 2013 11:36 17
Buy for 10 tokens
Вы можете вернуть процент с покупок, используя специализированные Интернет сервисы возврата наличных (cash back, кешбэк, кэшбэк, кэшбек). Такие сервисы предоставляют ссылки на Интернет-магазины. Переходя по ним и совершая покупки, вы получаете процент в виде наличных обратно. Если обычные сайты…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments